Майданлыкъ

Майданлыкъ
Символ	$S$, чыкъгъаны фр. superficie
Ёлчемлик	L²
Ёлчелеу бирим
ЁС	м²
СГС	см²
Белгиле	скаляр

Майданлыкъ неда Майдан — физикалыкъ уллулукъду, ол юсню ёлчемин белгилейди, геометриялыкъ фигураланы эм баш шартларыны бириди, математикада, юсню бютеулей неда бир кесегини толтургъан кёблюк нохталаны ёлчесиди. Эскиден майданлыкъны тергеу квадратура атны джюрютгенди. Бош фигураланы кескин магъанасы бу ангыламгъа практика джанындан берилген излемге кёре болады. Бирча майданлыкълары болгъан фигуралагъа тенг уллулукълу фигурала дейдиле.

Юч фигураны да бютеулей майданлыгъы 15-16 квадратчыкъ болады

Геометриялыкъ фигураланы тергеуню орталыкъ мадарын интеграл тергеу баджаргъанды. Майданлыкъны бир халгъа келтирилген ангыламы кёблюкню ёлчеси болгъанды, ол геометриялыкъ объектлени кенг классына келишеди. Практикада майданлыкъну ёлчелер ючюн палеткны неда энчи ёлчелеу адырны — планиметрни хайырландырадыла.

Майданлыкъ ангыламны белгилеую

Энчиликлери

Жорданны ич ёлчеси, Жорданны тыш ёлчесине тенг эсе, кёблюк Жордан бла ёлчеленирчады

Майданлыкъ — бу энчиликлеге ие болгъан функцияды:

• Позитивлик, ол демеклик майданлыкъ негатив уллулукъ тюлдю (скаляр);
• Аддитивлик, ол демеклик фигураны майданлыгъы, къуралгъан фигураларыны ортакъ ич нохтасыз майнданлыкъларына тенгди;
• Инвариантлыкъ, ол демеклик конгруэнт фигураланы майданлыкълары тенгди;
• Мардалаулукъ, ол демеклик биримли квадратны майданлыгъы 1-ге тенгди.

Майданлыкъны бу ачыкълауундан аны монотонлукълугъу чыгъады, ол демеклик фигураны кесеклерини майданлыкълары, бютеу фигураны майндалыкълыгъындан азды.

Квадратланнган фигурала

Википедияда бу теманы юсюнден энчи статья барды: Жорданны ёлчеси.

Аллында майданлыкъны ачыкълауу кёбмюйюшле ючюн къурашдырылгъанды, артдан ол квадратланнга фигуралагъа да джайылгъанды. Квадратланнган фигура деб, кёбмюйюшню ичинде сыйындырылгъан эмда аны ичине да кёб мюйюш сыйыннган фигурагъа айтылады, эки кёбмюйюшню майданлыгъы кеси излегенча гитче уллулукъгъа айрыды. Аллай фигуралагъа Жордан бла ёлчеленалгъан фигурала да дейдиле. Биримли квадратланы сау санындан къуралмагъан джассылыкъда фигурала ючюн, майданлыкъ мардалы кёчюу хайырландырылады; ол озаманда фигура эмда аны чеги кесекли-сыйдам болургъа керекди. Квадратланмагъан джассы фигурала боладыла. Башында теджелген майданлыкъны аксиомалыкъ ачыкълаугъа джассы фигурала ючюн конструктив ачыкълау къошулады, ол заманда майданлыкъны ёлчелеу палетка бла этиледи. Ёлчелеу кескинирек болур ючюн, эндиги атламда аллындагъы атламдагъы палеткадан квадратны джаны он кереге аз болгъан палетка хайырландырылады.

Квадратланнган джассы фигураны майданлыгъы барды эмда джангызды. Ортакълыракъ кёблюклеге джайылгъан майданлыкъ ангылам, кёблюклени айгъакълаууна келтиргенди, ала Лебег бла ёлчеленирчадыла, аны бла ёлчени теориясы кюрешеди. Андан ары баргъанда андан да ортакълыракъ классла чыгъадыла, алагъа майданлыкъны энчилиги джангызлыгъына гарантия бермейди.

Майданлыкъны белгилеуню ортакъ амалы

Джассы фигураны майданлыгъы

Практикада кёбюсюне кесекли-сыйдадм чеги болгъан чекленнген фигураны майданлыгъын айгъакъларгъа керек болады. Математикалыкъ анализ быллай хыйсабланы эсеблер ючюн универсал амал теджейди.

Декартны координатлары

Фигураны майданлыгъыча белгиленнген интеграл

Эки функцияны графиклерини арасында майданлыкъ, бу эки функциядан интегралланы, бирча интеграция лимитлеринде алымларына тенгди

$[a,b]$ интеравалда бёлюнмеген функцияны графики бла горизонтал осну арасындагъы майданлыкъ ол функциядан белгиленнген интеграл кибик тергелирге боллукъду:

$S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$

$f(x),\,g(x)$ эки бёлюнмеген функцияны графиклерини $[a,b]$ интервалны арасындагъы майданлыкъ бу функцияланы алымларыны модулларыны белгиленнген интегралыча болады:

$S=\int \limits _{a}^{b}\left|f(x)-g(x)\right|\,dx$

Полюс координатла

Полюс координатлада: $r=r(\theta )$ функцияны графиги эмда $\theta =\theta _{1},\theta =\theta _{2},\theta _{1}<\theta _{2}$ сызтаякъ бла чекленнген майданлыкъ бу формула бла тергеленеди:

$S={1 \over 2}\int \limits _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}r^{2}(\theta )\,d\theta$.

Параметрлик форма

Фигура параметрлик формада бу тенглендириу бла берилсин:

${\begin{cases}x=\varphi \left(t\right)\\y=\psi \left(t\right)\end{cases}},t\in \left[t_{1},t_{2}\right]$

Ол заманда, $x=\varphi \left(t\right)$ функцияны дифференцияланнган кери къайтарылыуу бар эсе, бизни функциябыз $f(x)=\psi \left(\varphi ^{-1}\left(t\right)\right)$ кёрюнюмде бериледи.

Алай болса, фигураны майданлыгъын бу формула бла тергейдиле:

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}f(\varphi \left(t\right){\frac {d\varphi }{dt}}dt$ -->

Юсню майданлыгъы

Википедияда бу теманы юсюнден энчи статья барды: Юсню майданлыгъы.

Кесекли-сыйдам юсню ючёлчели аламда майданлыгъын белгилер ючюн, тийген джассылыкълагъа хар нохтада ортогонал проекцияланы хайырландырадыла, андан сора лимит кёчюу этедиле. Эсебинде, $\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v),$ вектор-функция бла белгиленнген A къынгырланнган юсню майданлыгъы экили интеграл бла бериледи:

$S=\iint \limits _{A}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,du\,dv.$

Ол координатлада да:

$S=\iint \limits _{A}{\sqrt {\left({\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}\right)^{2}+\left({\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}\right)^{2}}}\;\mathrm {d} \,u\,\mathrm {d} \,v$

Здесь ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v}\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix}},\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$.

Майданланы теориясы

Майданланы теориясы k-ёлчели майданлыкъны аслам ортакъ аламлагъа кесекли-сыйдам батдырылыууну ачыкълаууну джайылыуу бла байламлы бир халгъа келтириуле бла кюрешеди. Кесекли-сыйдам батдырылыу ючюн f майданлыкъны башында белгиленнген амал бла айгъакълайдыла, аны бла бирге майданлыкъда позитивлик, аддитивлик, мардаланыулукъ кибик энчиликлери сакъланады эмда джангы энчиликле да джаратыладыла.

Майданлыкъны ёлчелеу биримлери

Бир квадрат сантиметрде джюз квадрат миллиметр барды

Метрлик биримле

• Квадрат метр, Халкъла арасы биримле системаны (ЁС) чыгъарлыгъан биримиди; 1 м² = 1 са (сантиар);
• Квадрат километр, 1 км² = 1 000 000 м²;
• Гектар, 1 га = 10 000 м²;
• Ар (сотка), 1 а = 100 м²:
• Квадрат дециметр, 100 дм² = 1 м²;
• Квадрат сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
• Квадрат миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м²;
• Барн, 1 б = 10⁻²⁸ м².

Антик биримле

• Актус
• Арура
• Центурия
• Югер

Башхала

• Акр
• Рай = 1600 м² (40 м × 40 м).
• Квадрат парсек
• Планк майданлыкъ ($S_{P},{\ell }_{P}^{2}$) ≈ 2,612099 · 10⁻⁷⁰ м²

Бош фигураланы майданлыкъларын тергеу формулалары

Кёбмюйюшле

Фигура	Формула	Тюрленмеле
Тюз ючмюйюш	$a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$a$ — ючмюйюшню бир джаны
Тикмюйюш ючмюйюш	${\frac {ab}{2}}$	$a$ и $b$ — ючмюйюшню катетлери
Кесича болгъан ючмюйюш	${\frac {1}{2}}ah$	$a$ — ючмюйюшню бир джаны, $h$ — ол джанына келтирилген мийиклик
	${\frac {1}{2}}ab\sin \alpha$	$a$ и $b$ — къайсы болса да эки джаны, $\alpha$ — аланы арасында мюйюш
	${\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ (Геронну формуласы)	$a$, $b$ и $c$ — ючмюйюшню джанлары, $p$ — джарымпериметр $\left(p={\frac {a+b+c}{2}}\right)$
	${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}$	$(x_{0};y_{0})$, $(x_{1};y_{1})$, $(x_{2};y_{2})$ — ючмюйюшню джитилерини координатлары (джитилерин сагъат бурулгъан бла джанласакъ позитив эсеб аллыкъбыз, алай болмаса негатив)
Квадрат	$a^{2}$	$a$ — квадратны бир джаныны узунлугъу
Тикмюйюш	$ab$	$a$ эмда $b$ — тикмюйюшню джанларыны узунлугъу (узунлугъу бла кенглиги)
Ромб	${\frac {1}{2}}cd$	$c$ и $d$ — ромбну диагоналларыны узунлугъу
Параллелограмм	$ah$	$a$ и $h$ — бир джанынын эмда аннга тюшюрюлген мийикликни узунлукълары
	$ab\sin \alpha$	$a$ эмда $b$ — параллелограммны хоншу джанлары, $\alpha$ — араларында мюйюш
Трапеция	${\frac {1}{2}}(a+b)h$	$a$ и $b$ — тамал трапеция, $h$ — трапецияны мийиклиги
Кесича болгъан тёртмюйюш	${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos \alpha }}$ (Брахмагуптаны формуласы)	$a$, $b$, $c$, $d$ — тёртмюйюшню джанлары, $p$ — аны джарымпериметри, $\alpha$ — тёртмюйюшню къаршчы тургъан мюйшлерини джарымсуммасы
Тюз алтымюйюш	$a^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	$a$ — алтымюйюшню бир джаныны узунлугъу
Тюз сегизмюйюш	$2a^{2}(1+{\sqrt {2}})$	$a$ — сегизмюйюшню бир джаныны узунлугъу
Тюз кёбмюйюш	${\frac {P^{2}/n}{4\operatorname {tg} (\pi /n)}}$	$P$ — периметр, $n$ — джанларыны саны
Кесича болгъан кёбмюйюш (тышына бюгюлген эмда тышына бюгюлмеген)	${\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i+1}+y_{i})\right|$ (трапецияланы амалы)	$(x_{i};y_{i})$ — кёбмюйюшню джитилерини координатлары, аланы джанлау мизамлары бла, ахыргъы биринчи бла джалгъанады: $(x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})$; тешиклериболса, аланы джанлауларыны сюремлери кёбмюйшню тыш чегинден джанлаууна къаршчыды турады
Кесича болгъан кёбмюйюш (тышына бюгюлген эмда тышына бюгюлмеген)	Кёбмюйшлени майданлыкъларын Саррону амалы бла тергеу. Аналитикалыкъ формуласы барды.	Кёбмюйюшню джанларыны узунлугъу эмда джанланы азимут мюйюшлери берилгенди

Тогъайны, аны кесеклерини, ичи бла эмда тышы бла тартылгъан фигураланы майданлыкълары

Фигура	Формула	Тюрленмеле
Тогъай	$\pi r^{2}$ неда ${\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$ — радиус, $d$ — тогъайны диаметри
Тогъайны сектору	${\frac {\alpha r^{2}}{2}}$	$r$ — тогъайны райдиусу, $\alpha$ — секуторну ара мюйюшю (радианлада)
Тогъайны сегменти	${\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )$	$r$ — тогъайны радиусу, $\alpha$ — секуторну ара мюйюшю (радианлада)
Эллипс	$\pi ab$	$a$, $b$ — эллипсни уллу эмда гитче джарымосу
Тёгерекни ичи бла тартылгъан ючмюйюш	${\frac {abc}{4R}}$	$a$, $b$ и $c$ — ючмюйюшню джанлары, $R$ — тышы бла баргъан тёгерекни радиусу
Тогъайны ичи бла тартылгъан тёртюмюйш	${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$ (Брахмагуптаны формуласы)	$a$, $b$, $c$, $d$ — тёртмюйюшню джанлары, $p$ — джарымпериметри
Тогъайдан узакъ болмай тартылгъан кёбмюйюш	${\frac {1}{2}}Pr$	$r$ — тёгерекни радиусу, кёбмюйюшню ичи бла тартылгъанды, $P$ — кёбмюйюшню периметри
Тёгерекни къатында тартылгъан тикмюйюш трапеция	$ab$	$a$, $b$ — трапецияны тамаллары

Затланы аламда юслерини майданлыкълары

Зат	Формула	Тюрленмеле
Тюз тёгерек цилиндрни толу юсю	$2\pi r(r+h)$	$r$ и $h$ — радиусу эмда мийиклиги
Тюз тёгерек цилиндрни къабыргъа юсю	$2\pi rh$
Тюз тёгерек конусну толу юсю	$\pi r(l+r)$	$r$ и $l$ — радиус эмда къабыргъа юсню къураучусу
Тюз тёгерек конусну къабыргъа юсю	$\pi rl$
Сфераны юсю (тобну)	$4\pi r^{2}$ или $\pi d^{2}$	$r$ и $d$ — радиусу эмда диаметри
Тюз призманы къабыргъа юсю	$Ph$	$P$ — тамалыны периметри, $h$ — мийиклиги
Кесича болгъан призманы толу юсю	$2A_{1}+A_{2}$	$A_{1}$ — тамалыны майданлыгъы $A_{2}$ — къабыргъа юсюню майданлыгъы

Литература

• Энциклопедия элементарной математики. Книга пятая. Геометрия / под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина. — М.: Наука, 1966. — 624 б.(орус.)
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. Изд. 3-е, М.: Наука, 1967.(орус.)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — Т. 2. — 680 б. — ISBN 5-9221-0155-2.(орус.)
• История математики: в 3 т / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. I: С древнейших времён до начала Нового времени.(орус.)
• История математики: в 3 т / под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. II: Математика XVII столетия.(орус.)
• Boyer C. B., Merzbach U. C. A History of Mathematics. — John Wiley & Sons, 2010. — 640 p. Архивная копия от 9 июль 2019 на Wayback Machine(ингил.)